Hurwitz-criterium. Stabiliteitscriteria van Wald, Hurwitz, Savage

2024 Auteur: Henry Conors | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-02-12 11:30

Het artikel bespreekt concepten als de criteria van Hurwitz, Savage en Wald. De nadruk ligt vooral op het eerste. Het Hurwitz-criterium wordt in detail beschreven, zowel vanuit een algebraïsch oogpunt als vanuit het oogpunt van besluitvorming onder onzekerheid.

Het is de moeite waard om te beginnen met een definitie van duurzaamheid. Het kenmerkt het vermogen van het systeem om terug te keren naar de evenwichtstoestand na het einde van de verstoring, die het eerder gevormde evenwicht schond.

Het is belangrijk op te merken dat zijn tegenstander - een onstabiel systeem - constant weg beweegt van zijn evenwichtstoestand (oscilleert eromheen) met een terugkerende amplitude.

Duurzaamheidscriteria: definitie, typen

Dit is een set regels waarmee je de bestaande tekens van de wortels van de karakteristieke vergelijking kunt beoordelen zonder naar de oplossing te zoeken. En de laatste bieden op hun beurt de mogelijkheid om de stabiliteit van een bepaald systeem te beoordelen.

In de regel zijn ze:

• algebraic (algebraïsche uitdrukkingen opstellen volgens een specifieke karakteristieke vergelijking met behulp van specialregels die de stabiliteit van de ACS kenmerken);
• frequentie (onderzoeksobject - frequentiekarakteristieken).

Hurwitz-stabiliteitscriterium vanuit algebraïsch oogpunt

Het is een algebraïsch criterium, wat inhoudt dat een bepaalde karakteristieke vergelijking in de vorm van een standaardvorm wordt overwogen:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Met behulp van zijn coëfficiënten wordt de Hurwitz-matrix gevormd.

De regel voor het samenstellen van de Hurwitz-matrix

In de richting van boven naar beneden worden alle coëfficiënten van de corresponderende karakteristieke vergelijking in volgorde uitgeschreven, beginnend van aᵥ₋₁ tot a0. Geef in alle kolommen vanaf de hoofddiagonaal de coëfficiënten van toenemende machten van de operator p aan en vervolgens omhoog - afnemend. Ontbrekende elementen worden vervangen door nullen.

Het is algemeen aanvaard dat het systeem stabiel is wanneer alle beschikbare diagonale minoren van de beschouwde matrix positief zijn. Als de hoofddeterminant gelijk is aan nul, dan kunnen we spreken van zijn aanwezigheid op de stabiliteitsgrens, en aᵥ=0. Als aan de overige voorwaarden is voldaan, bevindt het beschouwde systeem zich op de grens van een nieuwe aperiodieke stabiliteit (de voorlaatste minor wordt gelijkgesteld aan nul). Met een positieve waarde van de resterende minderjarigen - op de grens van toch al oscillerende stabiliteit.

Besluitvorming in een situatie van onzekerheid: criteria van Wald, Hurwitz, Savage

Dit zijn de criteria voor het kiezen van de meest geschikte variant van de strategie. Het Savage (Hurwitz, Wald) criterium wordt gebruikt in situaties waarin er a priori onzekere waarschijnlijkheden zijn van de natuurtoestanden. Hun basis is de analyse van de risicomatrix of betalingsmatrix. Als de kansverdeling van toekomstige toestanden onbekend is, wordt alle beschikbare informatie teruggebracht tot een lijst met mogelijke opties.

Dus het is de moeite waard om te beginnen met het maximin-criterium van Wald. Het fungeert als een criterium voor extreem pessimisme (voorzichtige waarnemer). Dit criterium kan worden gevormd voor zowel pure als gemengde strategieën.

Het dankt zijn naam aan de aanname van de statisticus dat de natuur toestanden kan realiseren waarin de hoeveelheid winst wordt gelijkgesteld aan de kleinste waarde.

Dit criterium is identiek aan het pessimistische criterium dat wordt gebruikt bij het oplossen van matrixspellen, meestal in pure strategieën. U moet dus eerst de minimumwaarde van het element uit elke rij selecteren. Vervolgens wordt de strategie van de beslisser geselecteerd, die overeenkomt met het maximale element onder de reeds geselecteerde minimale.

De opties die door het beschouwde criterium worden geselecteerd, zijn zonder risico, aangezien de beslisser geen slechter resultaat krijgt dan het resultaat dat als richtlijn fungeert.

Dus volgens het Wald-criterium wordt de pure strategie erkend als de meest acceptabele, omdat deze de maximale maximale winst garandeert in de slechtste omstandigheden.

Beschouw vervolgens het criterium van Savage. Hierbij houden ze bij het kiezen van een van de beschikbare oplossingen in de praktijk in de regel op bij degene die tot minimale gevolgen zal leiden in het geval datals de keuze toch verkeerd blijkt te zijn.

Volgens dit principe wordt elke beslissing gekenmerkt door een bepaalde hoeveelheid extra verliezen die optreden tijdens de uitvoering ervan, vergeleken met de juiste in de bestaande toestand van de natuur. Het is duidelijk dat de juiste oplossing geen extra verliezen kan veroorzaken, daarom wordt hun waarde gelijkgesteld aan nul. De meest geschikte strategie is dus die waarbij de hoeveelheid verliezen minimaal is onder de slechtste omstandigheden.

Criterium van pessimisme-optimisme

Dit is een andere naam voor het Hurwitz-criterium. In het proces van het kiezen van een oplossing, tijdens het beoordelen van de huidige situatie, houden ze zich in plaats van twee uitersten aan de zogenaamde tussenpositie, die rekening houdt met de waarschijnlijkheid van zowel gunstig als slechtst gedrag van de natuur.

Dit compromis werd voorgesteld door Hurwitz. Volgens hem moet je voor elke oplossing een lineaire combinatie van min en max instellen en vervolgens een strategie kiezen die overeenkomt met hun grootste waarde.

Wanneer is het betreffende criterium gerechtvaardigd?

Het is raadzaam om het Hurwitz-criterium te gebruiken in een situatie die wordt gekenmerkt door de volgende kenmerken:

1. Er moet rekening worden gehouden met het ergste geval.
2. Gebrek aan kennis over de waarschijnlijkheden van de natuurtoestanden.
3. Laten we wat risico nemen.
4. Er is een vrij klein aantal oplossingen geïmplementeerd.

Conclusie

Ten slotte zou het nuttig zijn eraan te herinneren dat het artikelHurwitz, Savage en Wald criteria. Het Hurwitz-criterium wordt vanuit verschillende gezichtspunten gedetailleerd beschreven.