Het geometrische object, later de "Klein-fles" genoemd, werd voor het eerst beschreven in 1882 door de Duitse wiskundige Felix Klein. Wat vertegenwoordigt hij? Dit object (of liever een geometrisch of topologisch oppervlak) kan eenvoudigweg niet bestaan in onze driedimensionale wereld. Alle modellen die te koop zijn in souvenirwinkels hebben een uitstraling die slechts een vaag idee geeft van wat een Klein flesje is.
Voor meer duidelijkheid wordt het als volgt beschreven: stel je een fles voor met een erg lange hals. Maak er dan mentaal twee gaten in: een in de muur en de tweede in de bodem. Buig vervolgens de nek, steek hem in het gat in de muur en haal hem eruit door het gat in de bodem. Het resulterende object zal een projectie zijn van een vierdimensionaal ruimtevoorwerp, de echte Klein-fles, in onze driedimensionale ruimte.
Beschrijving van de fles Klein in de taal van wiskundige termen offormules zullen de leek niets zeggen. Zal zo'n definitie veel mensen tevreden stellen: een Klein-fles is een niet-oriënteerbaar spruitstuk (of oppervlak) dat een aantal eigenschappen heeft. Na het woord "eigenschappen" kun je een lange reeks bouwen die bestaat uit goniometrische functies, cijfers en Griekse en Latijnse letters. Maar dit kan alleen een onvoorbereid persoon verwarren die al een idee heeft van wat de projectie van een fles in de driedimensionale ruimte is.
Interessant feit: de naam "Klein-fles" is aan dit object gegeven, hoogstwaarschijnlijk vanwege een fout of typografische fout van de vertaler. Feit is dat Klein in zijn definitie het woord Fläche gebruikte, dat wil zeggen "oppervlak" in het Duits. Bij het "reizen" van Duitsland naar andere landen, werd dit woord omgezet in een soortgelijke spelling Flasche (fles). Daarna keerde de term terug naar het land van herkomst in een nieuwe, gewijzigde vorm en bleef dat voor altijd.
Voor veel culturele figuren (voornamelijk sciencefictionschrijvers) bleek de term 'Klein-fles' aantrekkelijk. Het gebruik ervan als attribuut, en soms de hoofdpersoon, is een teken van 'intellectuele' fictie geworden. Dat is bijvoorbeeld het verhaal "The Last Illusionist", geschreven door Bruce Eliot. In het verhaal gaat de assistent van een goochelaar tekeer tegen zijn beschermheer, die trucjes uithaalde met een vierdimensionale Klein-fles. De illusionist die in de fles klom, blijft er half in ondergedompeld. Volgens de auteur kan deze fles niet worden gebroken zonder de inhoud te beschadigen. Is het echt zo - kan niet zeggengeen. Tenminste, wiskundigen, die deze vraag misschien zouden kunnen beantwoorden, waren er niet door verbaasd, voor de wetenschap is dit niet relevant.
Soms worden speciaal gemaakte Klein-flessen gevuld met wijn voor promotionele doeleinden. Toegegeven, het is technisch moeilijk om zo'n glazen fles te maken; daarvoor is een extra klasse glasblazer nodig. Daarom heeft het vrij hoge kosten en wordt het niet vaak gebruikt. En de ontwikkeling van technologie en de productie van dergelijke flessen op een stroom heeft geen zin, omdat hiervoor de methode moet worden uitgewerkt om de fles met vloeistof te vullen (ook hier zijn er problemen). En het gevoel van ongewoonheid en nieuwigheid zal snel worden vervangen door het ongemak van het gieten van wijn uit zo'n fles in glazen.
