De paradox van Achilles en de schildpad, naar voren gebracht door de oude Griekse filosoof Zeno, tart het gezond verstand. Het beweert dat de atletische jongen Achilles de onhandige schildpad nooit zal inhalen als deze voor hem begint te bewegen. Dus wat is het: sofisme (een opzettelijke fout in het bewijs) of een paradox (een stelling met een logische verklaring)? Laten we proberen dit artikel te begrijpen.
Wie is Zenon?
Zeno werd rond 488 voor Christus geboren in Elea (het huidige Velia), Italië. Hij woonde een aantal jaren in Athene, waar hij al zijn energie wijdde aan het uitleggen en ontwikkelen van het filosofische systeem van Parmenides. Uit de geschriften van Plato is bekend dat Zeno 25 jaar jonger was dan Parmenides en op zeer jonge leeftijd een verdediging van zijn filosofische systeem schreef. Hoewel er weinig is gered van zijn geschriften. De meesten van ons kennen hem alleen uit de geschriften van Aristoteles, en ook dat deze filosoof, Zeno van Elea, beroemd is om zijn filosofischeredenering.
Boek der paradoxen
In de vijfde eeuw voor Christus hield de Griekse filosoof Zeno zich bezig met de verschijnselen beweging, ruimte en tijd. Hoe mensen, dieren en objecten kunnen bewegen is de basis van de Achilles-schildpadparadox. De wiskundige en filosoof schreef vier paradoxen of "bewegingsparadoxen" die 2500 jaar geleden werden opgenomen in een boek dat Zeno schreef. Ze steunden het standpunt van Parmenides dat beweging onmogelijk was. We zullen de meest bekende paradox beschouwen - over Achilles en de schildpad.
Het verhaal is dit: Achilles en de schildpad besloten te gaan hardlopen. Om de wedstrijd interessanter te maken, liep de schildpad op enige afstand voor op Achilles, aangezien deze veel sneller is dan de schildpad. De paradox was dat Achilles de schildpad nooit zou inhalen zolang de run in theorie voortduurde.
In één versie van de paradox stelt Zeno dat beweging niet bestaat. Er zijn veel variaties, Aristoteles somt er vier op, hoewel ze in wezen variaties op de twee bewegingsparadoxen kunnen worden genoemd. De een raakt de tijd aan en de ander raakt de ruimte aan.
Van de fysica van Aristoteles
Uit boek VI.9 van Aristoteles' fysica kun je dat leren
In een race kan de snelste renner nooit de langzaamste inhalen, aangezien de achtervolger eerst het punt moet bereiken waar de achtervolging begon.
Dus nadat Achilles voor onbepaalde tijd heeft gelopen, zal hij een punt bereikenvan waaruit de schildpad begon. Maar in precies dezelfde tijd zal de schildpad vooruit gaan en het volgende punt op zijn pad bereiken, dus Achilles moet de schildpad nog inhalen. Opnieuw gaat hij vooruit, vrij snel naderend wat de schildpad vroeger bezat, "ontdekt" opnieuw dat de schildpad een beetje naar voren is gekropen.
Dit proces wordt herhaald zolang je het wilt herhalen. Omdat dimensies een menselijke constructie zijn en daarom oneindig, zullen we nooit het punt bereiken waarop Achilles de schildpad verslaat. Dit is precies de paradox van Zeno over Achilles en de schildpad. Volgens een logische redenering zal Achilles de schildpad nooit kunnen inhalen. In de praktijk zal de sprinter Achilles natuurlijk langs de langzame schildpad rennen.
Betekenis van de paradox
De beschrijving is complexer dan de eigenlijke paradox. Daarom zeggen veel mensen: "Ik begrijp de paradox van Achilles en de schildpad niet." Het is moeilijk om met de geest waar te nemen wat eigenlijk niet duidelijk is, maar juist het tegenovergestelde is duidelijk. Alles zit vervat in de uitleg van het probleem zelf. Zeno bewijst dat ruimte deelbaar is, en aangezien het deelbaar is, kan men een bepaald punt in de ruimte niet bereiken als een ander verder van dat punt is verwijderd.
Zeno bewijst, gezien deze omstandigheden, dat Achilles de schildpad niet kan inhalen, omdat de ruimte oneindig kan worden verdeeld in kleinere delen, waarbij de schildpad altijd deel zal uitmaken van de ruimte ervoor. Er moet ook worden opgemerkt dat, hoewel tijd een beweging is, zoals:dit is wat Aristoteles deed, de twee lopers zullen voor onbepaalde tijd bewegen en dus stationair zijn. Het blijkt dat Zenon gelijk heeft!
De oplossing voor de paradox van Achilles en de schildpad
Paradox laat de discrepantie zien tussen hoe we over de wereld denken en hoe de wereld werkelijk is. Joseph Mazur, emeritus hoogleraar wiskunde en auteur van Enlightened Symbols, beschrijft de paradox als een "truc" die je op de verkeerde manier laat nadenken over ruimte, tijd en beweging.
Dan komt de taak om te bepalen wat er precies mis is met ons denken. Beweging is natuurlijk mogelijk, een snelle menselijke hardloper kan een schildpad ontlopen in een race.
De paradox van Achilles en de schildpad in termen van wiskunde is als volgt:
- Ervan uitgaande dat de schildpad 100 meter vooruit is, als Achilles 100 meter heeft gelopen, zal de schildpad 10 meter voor hem zijn.
- Als hij die 10 meter bereikt, loopt de schildpad 1 meter voor.
- Als hij 1 meter bereikt, loopt de schildpad 0,1 meter vooruit.
- Als hij 0,1 meter bereikt, loopt de schildpad 0,01 meter vooruit.
Dus in hetzelfde proces zal Achilles talloze nederlagen lijden. Natuurlijk weten we tegenwoordig dat de som van 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … het exacte getal is en bepa alt wanneer Achilles de schildpad verslaat.
Tot oneindig, niet verder
De verwarring die door Zeno's voorbeeld werd veroorzaakt, kwam voornamelijk van een oneindig aantal puntenobservaties en posities die Achilles eerst moest bereiken terwijl de schildpad gestaag bewoog. Het zou dus bijna onmogelijk zijn voor Achilles om de schildpad in te halen, laat staan hem in te halen.
Ten eerste wordt de ruimtelijke afstand tussen Achilles en de schildpad steeds kleiner. Maar de tijd die nodig is om de afstand af te leggen neemt evenredig af. Het gecreëerde probleem van Zeno leidt tot de uitbreiding van bewegingspunten tot in het oneindige. Maar er was nog geen wiskundig concept.
Zoals je weet, was het pas aan het einde van de 17e eeuw mogelijk om een wiskundig verantwoorde oplossing voor dit probleem in calculus te vinden. Newton en Leibniz benaderden het oneindige met formele wiskundige benaderingen.
De Engelse wiskundige, logicus en filosoof Bertrand Russell zei dat "…Zeno's argumenten in een of andere vorm de basis vormden voor bijna alle theorieën over ruimte en oneindigheid die in onze tijd tot op de dag van vandaag werden voorgesteld…"
Is dit een sofisme of een paradox?
Vanuit filosofisch oogpunt zijn Achilles en de schildpad een paradox. Er zijn geen tegenstrijdigheden en fouten in de redenering. Alles is gebaseerd op het stellen van doelen. Achilles had als doel niet in te halen en in te halen, maar in te halen. Doelen stellen - inhalen. Hierdoor kan de snelvoetige Achilles de schildpad nooit inhalen of inhalen. In dit geval kan noch de natuurkunde met zijn wetten, noch de wiskunde Achilles helpen dit langzame schepsel in te halen.
Dankzij deze middeleeuwse filosofische paradox,die Zeno heeft gemaakt, kunnen we concluderen: je moet het doel correct stellen en ernaar toe gaan. In een poging om iemand in te halen, blijf je altijd tweede, en zelfs dan op zijn best. Als je weet welk doel iemand stelt, kun je met vertrouwen zeggen of hij het zal bereiken of zijn tijd, middelen en energie zal verspillen.
In het echte leven zijn er veel voorbeelden van het onjuist stellen van doelen. En de paradox van Achilles en de schildpad zal relevant zijn zolang de mensheid bestaat.
